Essai sur l'identité logico-mathématique

Peut-on parler de l'identité ou de relation d'identité ? Si oui, quels sont les éléments sur lesquels repose l'identité ou la relation d'identité ? Cette problématique fut d'abord ontologique (cf. Parménide et Héraclite) avant de devenir logique et mathématique.

Dans sa systématisation de la logique, Aristote tenta de donner un fondement intangible à la notion de l'identité en dissociant son aspect logique, le discours, de son aspect ontologique, l'être. Son mérite est d'avoir fait de la logique une science autonome. Mais il n'a pas fourni un fondement suffisamment intangible à la notion de l'identité pour mettre fin au débat.

Leibniz formula plutôt son vœu d'une logique mathématique pour mettre fin au débat philosophique et introduisit la notion de l'identité des indiscernables. Boole construit son algèbre logique à l'aide du signe d'identité (ex. « x = y », « x = xy », « x = vy »). Mais c'est Frege qui pose la question de l'identité comme le problème fondamental. Pour lui, en déterminant l'élément qui est jugé identique dans un énoncé d'identité et qui intéresse la logique, nous serons en mesure de fonder une logique mathématique défaite de l'équivocité des langues naturelles et rigoureuse. Il définit d'abord l'identité comme une relation entre des noms ayant un même contenu conceptuel (cf. jugement synthétique kantien « a = b ») avant de revenir sur sa position en la présentant cette fois-ci comme une relation entre des dénotations (« l'étoile du matin (a) est (=) l'étoile du soir (b) » puisque tous ces deux noms ont une même dénotation à savoir « Venus »). Ainsi on serait en mesure de remplacer a par b sans que la valeur de vérité de l'énoncé ne soit affectée puisque les deux signes ont la même dénotation.

Mais Russell nous montre que la différence de sens des descriptions définies peut altérer la valeur de vérité de l'énoncé. Kripke propose alors d'utiliser les noms propres ordinaires qui sont des désignateurs rigides (ex. Aristote, Frege, Macron, Mbappé etc.) pour les relations d'identité et rejette donc les descriptions définies qui sont des désignateurs non rigides (ex. l'étoile du matin, l'auteur de l'Idéographie, etc.).

Cependant, nous ne nous contentons pas seulement de l'usage des noms propres ordinaires pour exprimer l'identité. En plus, même les noms propres ordinaires ne désignent toujours les mêmes individus que dans un monde idéalisé (ex. « Macron est le célèbre peintre grec du Vème siècle » et « Macron est l'actuel président de la République française »).

Mieux Wittgenstein récuse toutes ces thèses en ces termes : « dire que deux choses sont identiques est dépourvu de sens, et dire qu'une chose est identique à elle-même c'est ne rien dire du tout ». Aux yeux de Wittgenstein, dans un langage parfait, la différence de signe « f(a,b) » suffirait pour comprendre qu'il ne s'agit pas d'une même chose et l'identité de signe « f(a,a) » suffirait pour dire qu'il s'agit d'une même chose.

Cependant, si les proposition wittgensteiniennes n'ont pas été retenues, c'est parce qu'elles sont loin d'être réalisables et pourraient même nous conduire à une impasse. Car même dans les sciences bien formalisées comme la logique et les mathématiques, la nécessité de recourir à un signe pour exprimer l'identité des formules se fait sentir (cf. arbres sémantiques et résolution des équations).

Alors, la question de l'identité reste sans réponse et les différentes écritures symboliques proposées par Frege, Boole, Russell, Wittgenstein, Quine, Peano etc. me semblent insatisfaites. Dans cet essai, je m'inspire de Boole et de Frege pour proposer de nouvelles écritures des énoncés d'identité qui me semblent assez sophistiquées pour prendre en compte à la fois les fluctuations et les autres types d'énoncé exprimés à l'aide de la copule. Et je proposerais que l'on distingue deux types de logique à savoir la logique des individus et la logique des propriétés.

Dettagli